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证明： 1)在一个有限群里阶数大于2的元素的个数一定是偶数； 2)偶数阶群中阶等于2的元素

2022-08-12 00:29:02 问答库阅读 193 次

问题详情

证明： 1)在一个有限群里，阶数大于2的元素的个数一定是偶数； 2)偶数阶群中阶等于2的元素的个数一定是奇数．

请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！

参考答案

正确答案：1)设G是一个有限群a是G的任意一个阶大于2的元素则显然a≠a^-1(否则将有a²=e)．但a与a^{-1有相同的阶即a¹的阶也大于2．又设b也是G中一个阶大于2的元素且b≠a b≠a^-1则易知b^-1≠ab^-1≠a¹．这就是说G中阶大于2的元素是成对出现的．由于G是有限群故G的阶大于2的元素的个数必为偶数．2)设G是一个偶数阶有限群．由于单位元是阶为1的惟一元素又由1)知G中阶大于2的元素的个数是偶数故G中阶数等于2的元素的个数一定是奇数．
1)设G是一个有限群,a是G的任意一个阶大于2的元素,则显然a≠a-1(否则将有a2=e)．但a与a-1有相同的阶,即a1的阶也大于2．又设b也是G中一个阶大于2的元素,且b≠a,b≠a-1,则易知b-1≠a,b-1≠a1．这就是说,G中阶大于2的元素是成对出现的．由于G是有限群,故G的阶大于2的元素的个数必为偶数．2)设G是一个偶数阶有限群．由于单位元是阶为1的惟一元素,又由1)知G中阶大于2的元素的个数是偶数,故G中阶数等于2的元素的个数一定是奇数．}