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求平面图形分别绕x轴 y轴旋转产生的立体的体积：在区间【0 π】上 曲线y=sinx与直线y
问题详情
求平面图形分别绕x轴、y轴旋转产生的立体的体积：在区间【0，π】上，曲线y=sinx与直线y=0所围成的图形．
参考答案
由y=sinx得：
x1=arcsiny,x1∈(0,π/2),y∈(0,1)
x2=π-arcsiny,x2∈(π/2,π),y∈(0,1)
∴V=∫(0,1)π[(x2)2-(x1)2]dy
=π∫(0,1)[(π-arcsiny)2-(arcsiny)2]dy
=π∫(0,1)[π(π-2arcsiny)dy
=π2[πy|(0,1)-2∫(0,1)arcsinydy]
=π2{π-2[yarcsiny|(0,1)-∫(0,1)ydy/√(1-y2)]}
=π3-2π2[π/2+1/2·∫(0,1)d(1-y2)/√(1-y2)]
=π3-2π2[π/2+1/2·2√(1-y2)|(0,1)]
=π3-2π2[π/2+(-1)]
=2π2
