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试证：在对数障碍函数算法中如果缩减因子σ的选取满足则当‖Dk-1h(k)‖≤θ时必有

2022-08-12 14:07:51 问答库阅读 196 次

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试证：在对数障碍函数算法中，如果缩减因子σ的选取满足
则当‖D_k^-1h^(k)‖≤θ时，必有‖D_k+1^-1h^(k+1)≤θ．

参考答案

w^(k+1)=c-u^(k+1)A,w^(k+2)=c-u^(k+2)A．
上面两式都右乘h^(k+1)，并注意到Ah^(k+1)=0，可得
w^(k+1)h^(k+1)=w^(k+2)h^(k+1)
可得
w^(k+1)=u_k[e^T-(h^(k))^TD_k^-1]D_k^-1,
w^(k+2)=u_k+1[e^T-(h^(k+1))^TD_k+1^-1]D_k+1^-1
将它们代入上一式并移项可得
u_k+1(h^(k+1))^TD_k+1^-2h^(k+1)=u_k(h^(k))^TD_k^-2h^(k+1)-u_ke^TD_k^-1h^(k+1)+u_k+1e^TD_k+1^-1h^(k+1)，
即有
u_k+1‖D_k+1^-1h^(k+1)‖²=u_k[(D_k^-1h^(k))^T-e^T]D_k^-1h^(k+1)+u_k+1e^TD_k+1^-1h^(k+1)．
注意到