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求二重积分∫∫(y√1+x^2-y^2)dt 其中D是由直线y=x x=-1和y=1所围成的
问题详情
求二重积分∫∫(y√1+x^2-y^2)dt，其中D是由直线y=x、x=-1和y=1所围成的闭区域．
参考答案
本题需要先积y，若先积x计算量会很大。∫∫（y√1+x2-y2）dxdy=∫[-1--->1]dx∫[x--->1]（y√1+x2-y2）dy=(1/2)∫[-1--->1]dx∫[x--->1]（√1+x2-y2）d(y2)=(-1/2)∫[-1--->1](2/3)(1+x2-y2)^(3/2)|[x--->1]dx=(-1/3)∫[-1--->1][|x|3-1]dx注意这里不能写x3，因为x有负值被积函数是偶函数，由奇偶对称性=(-2/3)∫[0--->1][|x|3-1]dx=(2/3)∫[0--->1][1-x3]dx=(2/3)(x-x?/4)|[0--->1]=(2/3)(1-1/4)=1/2
