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设P是Rl中的多面凸集试证：若存在超平面H={x|ax=β x∈Rl) 使P与半空间H-=

2022-08-12 13:46:13 问答库阅读 196 次

问题详情

设P是R^l中的多面凸集，试证：若存在超平面H={x|ax=β，x∈R^l)，使P与半空间H^-={x|ax≤β，x∈R^l)的交为单点集{x⁽⁰⁾)，则x⁽⁰⁾必是P的极点．

参考答案

设存在x⁽¹⁾，x⁽²⁾∈P和实数λ(0＜λ＜1)，使
x⁽⁰⁾=λx⁽¹⁾+(1-λ)x⁽²⁾．
假若x⁽¹⁾和x⁽²⁾相异于x⁽⁰⁾，则由P∩H^-={x⁽⁰⁾}可知，必有αx⁽¹⁾＞β和αx⁽²⁾＞β成立．从而有αx⁽⁰⁾=λαx⁽¹⁾+(1-λ)αx⁽²⁾＞β此与假设矛盾，由此可知，必有x⁽¹⁾=x⁽²⁾=x⁽⁰⁾．所以x⁽⁰⁾是P的极点．