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设x=x(y z) y=y(x z) z=z(x y)都是由方程F(x y z)=0所确定的
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设x=x(y,z),y=y(x,z),z=z(x,y)都是由方程F(x,y,z)=0所确定的具有连续偏导的函数,验证 (∂x/∂y)*(∂y/∂z)*(∂z/∂x)=-1.
参考答案
①求?x/?y：由x=x(y,z)代入方程F(x,y,z)=0,即F(x(y,z),y,z)=0,则把其看成关于未知数y,z的方程,则对其双边关于y求导,得F1'*?x/?y+F2'*1+F3'*0=0,于是?x/?y=-F2‘/F1’;
②求?y/?z：再由y=y(x,z)代入方程F(x,y,z)=0,即F(x,y(x,z),z)=0,则把其看成关于未知数x,z的方程,则对其双边关于z求导,得F1'*0+F2'*?y/?z+F3'*1=0,于是?y/?z=-F3‘/F2’;
③求?z/?x：仍由z=z(x,y)代入方程F(x,y,z)=0,即F(x,y,z(x,y))=0,则把其看成关于未知数x,y的方程,则对其双边关于x求导,得F1'*1+F2'*0+F3'*?z/?x=0,于是?z/?x=-F1‘/F3’;
于是(?x/?y)*(?y/?z)*(?z/?x)=(-F2‘/F1’)(-F3‘/F2’)(-F1'/F3')=-1.
综上,(?x/?y)*(?y/?z)*(?z/?x)=-1.
