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设f(x)在(a b)内二阶可导 且f(x)≥0 证明对于(a b)内任意两点x1 x2及0
问题详情
设f(x)在(a，b)内二阶可导，且f''(x)≥0，证明对于(a，b)内任意两点x1，x2及0＜t≤1有
f[(1-t)x1+tx2]≤(1-t)f(x1)+tf(x2).
参考答案
不妨设x1<=x2
当x1=x2,显然成立
当x1>x2
原式即t*{f(x2)-f[(1-t)*x1+t*x2]}>=(1-t){f[(1-t)*x1+t*x2]-f(x1)}(1)
f(x)在[x1,x2]内连续(x1,x2)内可导
则由中值定理得
f(x2)-f[(1-t)*x1+t*x2]=f'(m)*(1-t)*(x2-x1) m∈((1-t)*x1+t*x2,x2)
f[(1-t)*x1+t*x2]-f(x1)=f'(n)*t*(x2-x1) n∈(x1,(1-t)*x1+t*x2)
又f"(x)>=0 m>n 得f'(m)>=f'(n) 又0<=t<=1
即f'(m)*t*(1-t)*(x2-x1)>=f'(n)*t*(1-t)*(x2-x1) (1)满足
∴f[(1-t)*x1+t*x2]<=(1-t)*f(x1)+t*f(x2)
