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设函数f(x) g(x)在[a +∞)内具有n阶导数且f(k)(a)=g(k)(a)(k=

2022-08-12 13:24:19 问答库阅读 196 次

问题详情

设函数f(x)，g(x)在[a，+∞)内具有n阶导数，且f^(k)(a)=g^(k)(a)(k=0，1，2，…，n-1)，当x＞a时f⁽ⁿ⁾(x)＞g⁽ⁿ⁾(x)，证明当x＞a时恒有f(x)＞g(x)．

参考答案

[证] 取F(x)=f(x)-g(x)，则F⁽ⁿ⁾(x)＞0(x＞a)．因此F^(n-1)(x)在[a，+∞)内单调增加，从而F^(n-1)(x)＞F^(n-1)(a)=0，依次类推，可得F(x)在[a，+∞)内单调增加，故F(x)=f(x)-g(x)＞F(a)=0，即当x＞a时，恒有f(x)＞g(x)．