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设函数f(x) F(x)在[a b]上连续 在(a b)内可导 且F(x)≠0 x∈(a b
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设函数f(x)，F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F'(x)≠0，x∈(a，b)．由于f(x)，F(x)在[a，b]上都满足拉格朗日中值定理的条件，故存在点ξ∈(a，b)，使
f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)， (1)
F(b)-F(a)=F'(ξ)(b-a)， (2)
又，F'(x)≠0，x∈(a，b)，(1)，(2)两式相除，即有
，
以上证明柯西中值定理的方法对吗？
参考答案
这个证明方法是错误的．因为对于两个不同的函数f(x)，F(x)，拉格朗日中值定理公式中的ξ未必相同，就是说，在(a，b)内不一定存在同一个ξ，使f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)，F(b)-F(a)=F'(ξ)(b-a)．例如，对于f(x)=x2，在[0，1]上使拉格朗日中值定理成立的
