参考答案

证1 (反证)设方程f(x)=0在区间[a，b]上有不同的根x₁，x₂，即
f(x₁)=0=f(x₂)
不妨假设x₁＜x₂．注意到f"(x)≥0的条件，根据题可知，当0≤P≤1时，
f(px₁+(1-p)x₂)≤Pf(x₁)+(1-p)f(x₂)=0．另一方面，对于任意的x∈[a，b]，f(x)≥0．所以对于任意的P∈[0，1]
f(px₁+(1-p)x₂)=0
而当P取遍[0，1]中的每一点时，px₁+(1-p)x₂正好取遍[x₁，x₂]上的所有的点．这样，上式说明
f(x)≡0 x∈[x₁，x₂)
与题设矛盾．因此．f(x)=0在区间[a，b]上至多只有一个根．
证2 (反证)设x₁＜x₂，且x₁与x₂均为f(x)=0的根，根据罗尔中值定理，存在ξ∈(x₁，x₂)使f'(ξ)=0，由f"(x)≥0推得f'(x)的单增性，故
f'(x)≥f'(ξ)=0， (ξ≤x≤b)
f'(x)≤f'(ξ)=0， (a≤x≤ξ)
说明ξ是f(x)在区间[a，b]上的最小值点，因此
f(ξ)≤f(x₁)=0
又 f(x)≥0， (x∈[a，b])
从而推得 f(ξ)=0
由前面关于f'(x)的不等式可知，f(x)在[ξ，b]上是单增的．所以，当ξ≤x≤x₂时
0=f(ξ)≤f(x)≤f(x₂)=0
这样，f(x)在区间[ξ，x₂]上恒为0，与题设矛盾．因此，f(x)=0在区间[a，b]上至多只有一个根．