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已知f(x) g(x)连续可导 且 f′(x)＝g(x) g′(x)＝f(x)＋φ(x)
问题详情
已知f(x)，g(x)连续可导，且 f′(x)＝g(x)， g′(x)＝f(x)＋φ(x)， 其中φ(x)为某已知连续函数，g(x)满足微分方程 g′(x)－xg(x)＝cosx＋φ(x)， 求不定积分∫xf″(x)dx．
请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
参考答案
正确答案：因为∫xf″(x)dx＝∫xdf′(x)＝xf′(x)－∫f′(x)dx＝xf′(x)一f(x)＋C又由 f′(x)＝g(x) g′(x)＝f(x)＋φ(x)于是有 ∫xf″(x)dx＝xg(x)一[g′(x)～φ(x)]＋C＝xg(x)一g′(x)＋φ(x)＋C＝－cosx＋C．注意 上例不必求解微分方程g′(x)一xg(x)＝cosx＋φ(x)求出g(x)．
从不定积分∫xf″(x)dx的形式：被积函数含有导函数为因子函数，可用分部积分法求之．
