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设三个函数y1=x y2=x+sinx y3=x+cosx都是微分方程 y+p(x)y+
问题详情
设三个函数y1=x、y2=x+sinx、y3=x+cosx都是微分方程
y"+p(x)y'+Q(x)y=f(x)
的解．试求该微分方程的通解．
参考答案
显然这是一个二阶线性微分方程．如果y1与y2都是该方程的解，则将y2-y1代入方程左端，得到
(y2-y1)"+p(x)(y2-y1)'+Q(x)(y2-y1)
=[y"2+p(x)y'2+Q(x)y2]-[y"1+p(x)y'1+Q(x)y1]
=f(x)-f(x)=0，
因此y2-y1是对应的齐次线性微分方程的解．类似地可以验证y3-y1也是对应的各次线性微分方程的解．因为y2-y1=sinx与y3-y1=cosx是对应的齐次线性微分方程的两个比不是常数的解，于是方程的通解为
C1sinx+C2cosx+x．
