参考答案

因为xi为区间[a,b]上的n个点，不妨取a≤x1记P=max{f(x1),f(x2),...,f(xn)}，Q=min{f(x1),f(x2),...,f(xn)}，则P≥Q1.若P=Q，即f(x1)=f(x2)=...=f(xn)，此时P=Q=t1*f(x1)+t2*f(x2)+...+tn*f(xn)取x2,x3,...,x{n-1}中任一值作为ξ，都有ξ∈(a,b)，且f(ξ)=t1*f(x1)+t2*f(x2)+...+tn*f(xn)2.若P>Q，记f(xp)=P，a≤xp≤bf(xq)=Q，a≤xq≤b则f(xp)≥f(xi)，f(xq)≤f(xi)，i=1,2,...,n令F(x)=f(x)-[t1*f(x1)+t2*f(x2)+...+tn*f(xn)]，则F(xp)=f(xp)-[t1*f(x1)+t2*f(x2)+...+tn*f(xn)]=f(xp)*(t1+t2+...+tn)-[t1*f(x1)+t2*f(x2)+...+tn*f(xn)]=t1*[f(xp)-f(x1)]+t2*[f(xp)-f(x2)]+...+tn*[f(xp)-f(xn)]>0F(xq)=f(xq)-[t1*f(x1)+t2*f(x2)+...+tn*f(xn)]=f(xq)*(t1+t2+...+tn)-[t1*f(x1)+t2*f(x2)+...+tn*f(xn)]=t1*[f(xq)-f(x1)]+t2*[f(xq)-f(x2)]+...+tn*[f(xq)-f(xn)]<0其中，f(xp)-f(xi)与f(xq)-f(xi)不全为零，i=1,2,...,n由介值定理，至少存在一点ξ∈(xp,xq)属于(a,b)，或ξ∈(xq,xp)属于(a,b)使得F(ξ)=0，即f(ξ)=t1*f(x1)+t2*f(x2)+...+tn*f(xn)综上，至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=t1*f(x1)+t2*f(x2)+...+tn*f(xn)