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在讨论分段函数的连续性时 有的同学这样 讨论：由于y=x+1和y=x都是初等函数 故y=x
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在讨论分段函数的连续性时，有的同学这样
讨论：由于y=x+1和y=x都是初等函数，故y=x+1在区间(0，+∞)内连续，y=x在区间(-∞，0]上连续．又由于(-∞，0]∪(0，+∞)=(-∞，+∞)，故f(x)在(-∞，+∞)内连续．但是f(x)在x=0显然是不连续的，试问以上推理错在何处？
参考答案
错在第二步推理上．y=x在区间(-∞，0]上连续当然是对的，但是它在x=0处的连续性仅指左连续．由此只能推出f(x)在x=0处左连续．然而由于x=0含于f(x)定义域的内部(即存在x=0的邻域，该邻域包含于f(x)的定义域)，故考察f(x)在x=0的连续性时，必须考察它是否在x=0既左连续，又右连续．现在f(x)在x=0处非右连续，所以，f(x)在x=0处不连续．
我们应该记住：讨论分段函数的连续性时，在分段点处一定要分别考察函数的左、右连续性．
