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常系数二阶方程 y+ay+by=f(x) 的一个特解可表示为： y(x)=∫x0xψ
问题详情
常系数二阶方程
y"+ay'+by=f(x)
的一个特解可表示为：
y(x)=∫x0xψ(x-t)f(t)dt
其中ψ(x)是相应(1)的齐次方程，且满足条件
ψ(0)=0及ψ'(0)=1的特解，试证明之．
参考答案
y'=∫x0xψ'(x-t)f(t)dt
y"=ψ'(0)f(x)+∫x0xψ"(x-t)f(t)dt
=f(x)+∫x0xψ"(x-t)f(t)dt
y"+ay'+by
=f(x)+∫x0x[ψ"(x-t)+aψ'(x-t)+bψ(x-t)]f(t)dt
=-f(x)
故 y=∫x0xψ(x-t)f(t)dt是所求的一个特解本题所导出的求解公式，得自于拉氏变换，y(x)是ψ(x)和f(x)的卷积．一般情况下，可取x0=0，主要看f(x)在x=0点是否连续．
