参考答案

设F(x)=f²(x)，由题设可知F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)=0
由于f(x)在(0，1)内不恒等于零，因此必定存在点x₁∈(0，1)，使f(x₁)≠0,从而知F(x₁)=f²(x₁)＞0
在[0，x₁]上对F(x)利用拉格朗日中值定理可知必定存在一点ξ∈(0，x₁)，使
F(x₁)-F(0)=F'(ξ)(x₁-0)
f²(x₁)=2f(ξ)·f'(ξ)·x₁由于x₁＞0，f²(x₁)＞0，可知
f(ξ)·f'(ξ)＞0所证结论为函数导数在区间内某点值的表达式，可以考虑利用微分中值定理分析，注意到[f2(x)]'=2f(x)·f'(x)，可以设F(x)=f²(x)