参考答案

证法1 设F(x)=x²[f(b)-f(a)]-(b²-a²)f(x)由题设可知F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，由于
F(a)=a²[f(b)-f(a)]-(b²-a²)f(a)=a²f(b)-b²f(a)
F(b)=b²[f(b)-f(a)]-(b²-a²)f(b)=a²f(b)-b²f(a)
因此F(a)=F(b)·F(x)在[a，b]上满足罗尔定理,可知至少存在一点ξ∈(a，b)，使F'(ξ)=0，即
2ξ[f(b)-f(a)]-(b²-a²)f'(ξ)=0故
2ξ[f(b)-f(a)]=(b²-a²)f'(ξ)
证法2 设F(x)=f(x)，G(x)=x²，则由题设可知F(x)，G(x)在[a，b]上满足柯西中值定理，因此至少存在一点ξ∈(a，b)，

即所给问题为考察函数的导数在区间内某点值的问题，通常可以考虑利用微分中值定理求解
如果将欲证的表达式变形为
F'(x)=2x[f(b)-f(a)]-(b²-a²)f'(x)可以考虑由此构造F(x)，使之在[a，b]上满足罗尔定理
如果将欲证的表达式变形
可以考虑在[a，b]上利用柯西中值定理。