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设函数f(x) ψ(x)二阶可导 当x＞0时 f(x)＞ψ(x) 且f(0)=ψ(0)
问题详情
设函数f(x)，ψ(x)二阶可导，当x＞0时，f"(x)＞ψ"(x)，且f(0)=ψ(0)，f'(0)=ψ'(0),证明：当x＞0时，f(x)＞ψ(x)
参考答案
设F(x)=f(x)-ψ(x)当x＞0时，则F'(x)=f'(x)-ψ'(x)
由于
F"(x)=f"(x)-ψ"(x)＞0可知F'(x)当x＞0时单调增加
又由于F'(0)=f'(0)-ψ'(0)=0所以当x＞0时，有
F'(x)＞F'(0)=0因此，F(x)在x＞0时也单调增加，由于F(0)=f(0)-ψ(0)=0，故当x＞0时有F(x)＞F(0)=0，即
f(x)＞ψ(x)可以将所给问题认作证明不等式，由于问题的题设给出了导数关系，因此可以考虑利用函数的单调性证明
