参考答案

为证明方程根的存在性，可以转化为函数的零点问题。先将方程两端同乘以(x-1)(x-2)(x-3)，可得
(x-2)(x-3)+2(x-1)(x-3)+3(x-1)(x-2) =0,令F(x)=(x-2)(x-3)+2(x-1)(x-3)+3(x-1)(x-2)，则F(x)在(-∞，+∞)内连续。
取[a，b]=[1，2]，则
F(1)＞0， F(2)＜0，由闭区间上连续函数的零点定理可知，在(1，2)内至少存在一点x₁，使F(x₁)=0。
取[a，b]=[2，3]，则
F(2)＜0， F(3)＞0，由零点定理可知，在(2，3)内至少存在一点x₂，使F(x₂)=0。
易见x₁≠x₂，由于F(x)=0为一元二次方程，由代数知识可知，一元二次方程至多有两个实根，此处x₁≠x₂，因此x₁，x₂就是方程的两个实根，且分别位于(1，2)内与(2，3)内。所给方程为分式方程，常将方程化为整式方程。