参考答案

解:X的密度函数是
f(x)=3e^-3x,当x>0时
0,当x≤0时。
令g(x)=-1.5e^-2x,h(x)=-3e^-x,则
Y的期望是
E(Y)=∫(-∞,+∞)e^xf(x)dx
=∫(0,+∞)e^xf(x)dx
=∫(0,+∞)(e^x·3e^-3x)dx
=∫(0,+∞)3e^-2xdx
=lim(t→+∞)∫(0,t)3e^-2xdx
=lim(t→+∞)(g(t)-g(0))
=lim(t→+∞)(-1.5e^(-2t)+1.5)
=1.5
Y的平方的期望是
E(Y^2)=∫(-∞,+∞)e^2xf(x)dx
=∫(0,+∞)e2^xf(x)dx
=∫(0,+∞)(e^2x·3e^-3x)dx
=∫(0,+∞)3e^-xdx
=lim(t→+∞)∫(0,t)3e^-xdx
=lim(t→+∞)(h(t)-h(0))
=lim(t→+∞)(-3e^(-t)+3)
=3
因此Y的方差是
Var(Y)=E(Y^2)-E(Y)^2
=3-1.5^2
=0.75
综上所述,Y的期望是1.5,方差是0.75。