参考答案

[证明]方法一考虑k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s+kβ=0， ①
式①的两端左乘A，有
k₁Aα₁+k₂Aα₂+…+k_sAα_s+kAβ=0，
由条件可知Aα_i=0(i=1，2，…，s)，Aβ=b，故有kb=0，因为b≠0，则k=0，则①式变为
k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s=0．
又α₁，α₂，…，α_s线性无关，则k₁=k₂=…k_s=0，所以α₁，α₂，…，α_s，β线性无关．
方法二 反证法
若α₁，α₂，…，α_s，β线性相关，由于α₁，α₂，…，α_s线性无关，则β可由α₁，α₂，…，α_s线性表示，即
β=l₁α₁+l₂α₂+…+l_sα_s， ②
等式②两边同时左乘A，有
Aβ=l₁Aα₁+l₂Aα₂+…+l_sAα_s，由条件知Aα_i=0(i=1，2，…，s)，Aβ=b，则b=0，这与题设矛盾．故α₁，α₂，…，α_s，β线性无关．[小结]本题采用了两种方法即从正反两方面来证明结论，前者利用了线性无关的定义，后者利用了线性相关的性质．