A-A+
设α0 α1 … αn-r为Ax=b(b≠0)的n-r+1个线性无关的解向量 A的秩为r 证
问题详情
设α0，α1，…，αn-r为Ax=b(b≠0)的n-r+1个线性无关的解向量，A的秩为r，证明：
α1-α0，α2-α0，…，αn-r-α0是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系
参考答案
[证明]所给向量组有n-r个向量，若能证明它们均是Ax=0的解向量，且线性无关，则它们为Ax=0的基础解系
因Aα0=b，Aα1=b，…，Aαn-r=b，
故A(αi-α0)=Aαi-Aα0=b-b=0(i=1，2，…，n-r)，
即αi-α0为Ax=0的解向量，下面证它们线性无关，
设k1(α1-α0)+k2(α2-α0)+…+kn-r(αn-r-α0)=0，
即k1α1+…+kn-rαn-r+(-k1-k2-…-kn-r)α0=0．
因α0，α1，…，αn-r线性无关，故k1=k2=…=kn-r=0，即
α1-α0，α2-α0，…'αn-r-α0
线性无关，从而为Ax=0的一个基础解系
