参考答案

[证明]用定义法证明，没有一组数k，k₁，k₂，…，k_t使得
kβ+k₁(β+α₁)+…+k_t(β+α_t)=0，
即(k+k₁+…+k_t)β+k₁α₁+…+k_tα_t=0，上式两边同时左乘矩阵A，有
(k+k₁+…+k_t)Aβ+k₁Aα₁+…+k_tAα_t=0， (*)
由于Aα_j=0(j=1，2，…，t)，于是(k+k₁+…+k_t)Aβ=0，因为Aβ≠0，故
k+k₁+…+k_t=0， (**)
从而由(*)式得k₁α₁+k₂α₂+…+k_tα_t=0，由于向量组α₁，α₂，…，α_t是基础解系，所以α₁，α₂，…，α_t线性无关，于是有
k₁=k₂=…=k_t=0．
再由(**)式得k=0．
因此向量组β，β+α₁，…，β+α_t线性无关，