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设η1 … ηs是非齐次线性方程组Ax=b的s个解 k1 …ks为实数满足k1+k2+…+

2022-08-12 04:42:59 问答库阅读 194 次

问题详情

设η1，…，ηs是非齐次线性方程组Ax=b的s个解，k1，…ks为实数，满足k1+k2+…+ks=1．证明x=k1η1+k2η2+…+ksηs也是它的解．

请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！

参考答案

正确答案：因 Ax=A(k₁η₁+k₂η₂+…+k_sη_s)=k₁(Aη₁)+k₂(Aη₂)+…+k₂(Aη_s)=k₁b+k₂b+…+k_sb=(k₁+k₂+…k_s)b=b故x=k₁η₁+k₂η₂+…+k_sη_s也是方程组Ax=b的解．
因Ax=A(k1η1+k2η2+…+ksηs)=k1(Aη1)+k2(Aη2)+…+k2(Aηs)=k1b+k2b+…+ksb=(k1+k2+…ks)b=b,故x=k1η1+k2η2+…+ksηs也是方程组Ax=b的解．