A-A+

设A B∈Cn×n x∈Cn 证明： (1)∣Ax∣≤∣A∣∣x∣； (2)∣AB∣≤∣A∣

2022-08-12 04:35:53 问答库阅读 194 次

问题详情

设A，B∈Cn×n，x∈Cn，证明： (1)∣Ax∣≤∣A∣∣x∣； (2)∣AB∣≤∣A∣∣B∣； (3)若0≤A≤B，则0≤An≤Bm(m为正整数)．

请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！

参考答案

正确答案：(用归纳法)当m=1时结论成立．设结论对m=1成立即A^m－1≤B^m－1那么B^m－1－A^m－1≥0又B≥A≥0故B^m－A^m－AB^m－1+AB^m－1－A^m=B(B^m－1－A^m－1)+(B－A)A^m－1≥0从而B^m≥A^m≥0．
(用归纳法)当m=1时,结论成立．设结论对m=1成立,即Am－1≤Bm－1,那么Bm－1－Am－1≥0,又B≥A≥0,故Bm－Am－ABm－1+ABm－1－Am=B(Bm－1－Am－1)+(B－A)Am－1≥0,从而Bm≥Am≥0．