参考答案

正确答案：首先证ξξ+α₁ξ+α₂…ξ+α_n－r线性无关不妨设l₀ξ+l₁(ξ+l₁)+l₂(ξ+α₁)+…+l_n－r(ξ+α_n－r)=0即(l₀+l₁+l₂十…+l_n－r)ξ+l₁α₁+l₂α₂+…+l_n－rα_n－r=0用矩阵Α左乘上式两端并由Αα_i=0Αξ=b可得(l₀+l₁+l₂+…+l_nr)b=0由b≠0知l₀+l₁+l₂+…+l_nr=0故l₁α₁+l₂α₂+…+l_n－rα_n－r=0又因为α₁α₂…α_n－r是Αx=0的基础解系所以l₀=l₁=l₂=…=l_n－r=0即ξξ+α₁ξ+α₂…ξ+α_n－r线性无关。设β为Αx=b的任意解由题意知存在k_i(i=12…n一r)使得β=ξ+k₁α₁+k₂α₂+…+k_n－rα_n－r=(1一k₁一…一k_n－r)ξ+k₁(α₁+ξ)+…+k_n－r(α_n－r+ξ)。这表明β可由ξξ+α₁ξ+α₂…+ξ+α_n－r线性表示即ξξ+α₁ξ+α₂…ξ+α_n－r是方程组Αx=b所有解的极大线性无关组显然Αx=b的所有解之和解的任意常数倍都不是Αx=b的解所以Αx=b所有解的集合不构成线性空间．注 此题意在表明一个无穷集合可以有极大线性无关组但其自身并不一定是线性空间
首先证ξ,ξ+α1,ξ+α2,…,ξ+αn－r线性无关,不妨设l0ξ+l1(ξ+l1)+l2(ξ+α1)+…+ln－r(ξ+αn－r)=0,即(l0+l1+l2十…+ln－r,)ξ+l1α1+l2α2+…+ln－rαn－r=0,用矩阵Α左乘上式两端,并由Ααi=0,Αξ=b,可得(l0+l1+l2+…+lnr)b=0,由b≠0,知l0+l1+l2+…+lnr,=0,故l1α1+l2α2+…+ln－rαn－r=0又因为α1,α2,…,αn－r是Αx=0的基础解系,所以l0=l1=l2=…=ln－r=0即ξ,ξ+α1,ξ+α2,…,ξ+αn－r线性无关。设β为Αx=b的任意解,由题意知,存在ki(i=1,2,…,n一r)使得β=ξ+k1α1+k2α2+…+kn－rαn－r=(1一k1一…一kn－r)ξ+k1(α1+ξ)+…+kn－r(αn－r+ξ)。这表明β可由ξ,ξ+α1,ξ+α2,…+ξ+αn－r线性表示,即ξ,ξ+α1,ξ+α2,…,ξ+αn－r是方程组Αx=b所有解的极大线性无关组显然,Αx=b的所有解之和,解的任意常数倍都不是Αx=b的解,所以Αx=b所有解的集合不构成线性空间．注此题意在表明一个无穷集合可以有极大线性无关组,但其自身并不一定是线性空间