参考答案

正确答案：因为B是正定矩阵所以存在一个n阶实可逆矩阵C使C^TBC=E．其中E为n阶单位矩阵．又因为C^TAC还是n阶实对称矩阵所以也存在一个n阶实正交矩阵Q使O^T(C^TAC)Q=diag(λ₁λ₂…λ_n)其中λ₁λ₂…．λ_n为C^TAC的特征值于是只要令P=CQ则P为可逆矩阵此时有P^TAP=Q^T(C^TAC)Q=diag(λ₁λ₂…λ_n)且P^TBP=Q^T(C^TBC)Q=Q^TQ=E．
因为B是正定矩阵,所以存在一个n阶实可逆矩阵C,使CTBC=E．其中E为n阶单位矩阵．又因为CTAC还是n阶实对称矩阵,所以也存在一个n阶实正交矩阵Q,使OT(CTAC)Q=diag(λ1,λ2,…,λn),其中λ1,λ2,…．λn为CTAC的特征值,于是只要令P=CQ,则P为可逆矩阵,此时有PTAP=QT(CTAC)Q=diag(λ1,λ2,…,λn),且PTBP=QT(CTBC)Q=QTQ=E．