A-A+

设A是实对称矩阵它的n个特征值的绝对值中最大者记作Sr(A) 证明：当实数t>S (A)时

2022-08-12 03:21:34 问答库阅读 193 次

问题详情

设A是实对称矩阵，它的n个特征值的绝对值中最大者记作Sr(A)，证明：当实数t>S，(A)时，tI+A是正定矩阵．

请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！

参考答案

正确答案：因为A为实对称矩阵故存在实正交方阵P使得P^TAP=diag{λ₁λ₂…λ_n}其中λ₁λ₂…λ_n为实数均为A的特征根故P^T(tI+A)Q=diag{t+λ₁t+λ₂…t+λ_n)由于t>S_r(A)故t+λ_i>0(i=12…n)从而diag{t+λ₁)t+λ₂…t+λ_n)是正定的从而tI+A为正定矩阵．
因为A为实对称矩阵,故存在实正交方阵P使得PTAP=diag{λ1,λ2,…,λn}其中λ1,λ2,…,λn为实数,均为A的特征根故PT(tI+A)Q=diag{t+λ1,t+λ2,…,t+λn)由于t>Sr(A),故t+λi>0(i=1,2,…,n)从而diag{t+λ1),t+λ2,…,t+λn)是正定的,从而tI+A为正定矩阵．