参考答案

正确答案：×
由题意,K>0,故根据R3中2维定向、紧致曲面拓扑分类定理,知M同胚于球面．习题3．3．9表明Gauss映射G→M→S2为满射．由于KG>0,｜nu"×xv"｜=KG｜xu"×xv"｜,Gauss映射G在M上每一点是局部微分同胚的,S2上每一点都是Gauss映射G的正则值．根据习题3．3．8定理,以及r=0(因KG>0),有这就证明了Gauss映射G：M→S2为微分同胚．Gauss曲率KG>0的曲面M上的每一点为椭圆点,曲面M是局部严格凸的：M上每一点P有一个开邻域UP在这一点处于切平面πP的同一侧,此切平面πp与此开邻域UP只有一个交点P,它就是切点(或参阅定理3．3．4的证明)．下证M是整体严格凸的．设P∈M为任一点,πP为点P处的切平面,nP为P点处的单位法向量．构造习题3．3．9中的函数f(u,v)=x(u,v).nP．(反证)假设在平面πP的两侧都有M上的点；或者M在πP的同一侧,但平面πp上除了P还有M的其他点．由习题3．3．9的证明可知,np至少是M的两点处的定向法向量(P是其中之一),这与Gauss映射G：M→S2为微分同胚(当然为一一映射)相矛盾．因此,曲面M严格在切平面πP的同一侧．从而,M是整体严格凸的．