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证明:如果曲面M上k>0的测地线为平面曲线 则它必为曲率线.如果曲面M的所有测地线均为平面曲

2022-08-12 01:53:32 问答库 阅读 193 次

问题详情

证明:如果曲面M上k>0的测地线为平面曲线,则它必为曲率线.如果曲面M的所有测地线均为平面曲线且k>0,则曲面M为全脐曲面.进而,如果M连通,则M为球面片.请帮忙给出正确答案和分析,谢谢!

参考答案

正确答案:沿k>0的测地线C有n=±V2.再由题设知C为平面曲线故主法线就是法线它必在该平面中.因此法线曲面也就是主法线曲面必为该平面它是可展曲面.再根据定理2.5.4(3)C为曲面M的曲率线.因此曲面M的任何方向都为主方向曲面是全脐曲面.进而如果M连通则由引理3.1.4(1)知曲面M为球面片.
沿k>0的测地线C,有n=±V2.再由题设知C为平面曲线,故主法线就是法线,它必在该平面中.因此,法线曲面也就是主法线曲面必为该平面,它是可展曲面.再根据定理2.5.4(3),C为曲面M的曲率线.因此,曲面M的任何方向都为主方向,曲面是全脐曲面.进而,如果M连通,则由引理3.1.4(1)知,曲面M为球面片.

考点:地线,曲面