参考答案

正确答案：(i)用反证法即设对所有[αβ] 真包含于 [αb]都有m≤f(x)≤Mx∈(αb)则对任意x∈[αb]取[αβ]=[x-△xx+△x]则f(x)=M=m此时f(x)为常数函数与题设矛盾。故存在[αβ]真包含于 [αb]使m＜f(x)<Mx∈(αβ)。(ii)因为f(x)为非常数函数．所以M≠m且根据连续函数最值性定理存在x"x"∈[αb]使f(x")=Mf(x")=m则令α=x"β=x"(或α=x"β=x")此时f(α)f(β)恰好是f(x)在[αb]上的最大值最小值(最小值、最大值)。
(i)用反证法,即设对所有[α,β]真包含于[α,b],都有m≤f(x)≤M,x∈(α,b)则对任意x∈[α,b],取[α,β]=[x-△x,x+△x]则f(x)=M=m,此时f(x)为常数函数,与题设矛盾。故存在[α,β]真包含于[α,b],使m＜f(x)<M,x∈(α,β)。(ii)因为f(x)为非常数函数．所以M≠m且根据连续函数最值性定理,存在x",x"∈[α,b],使f(x")=M,f(x")=m则令α=x",β=x"(或α=x",β=x"),此时f(α),f(β)恰好是f(x)在[α,b]上的最大值,最小值(最小值、最大值)。