参考答案

正确答案：因为α²∈F(α)故F≤F(α²)≤F(α)．从而(F(α)：F}=(F(α)：F(α²))(F(α²)：F)． (1)但由于α是F上的奇次代数元故(F(α)：F)是奇数因此由(1)知(F(α²)：F)是奇数即α²是域F上的奇次代数元．又由于F(α)=F(α²α)=F(α²)(α)即F(α)也是域F(α²)上的单扩域．设α在域F(α²)上的最小多项式为q(x)次数为m则由(1)知必为奇数．又因为α是多项式x²一α²∈F(α²)[x]的根故q(x)|x²-α²从而m≤2．但由上知m为奇数故必m=1．即(F(α)：F(α²))=1从而F(α)=F(α²)．
因为α2∈F(α),故F≤F(α2)≤F(α)．从而(F(α)：F}=(F(α)：F(α2))(F(α2)：F)．(1)但由于α是F上的奇次代数元,故(F(α)：F)是奇数,因此由(1)知,(F(α2)：F)是奇数,即α2是域F上的奇次代数元．又由于F(α)=F(α2,α)=F(α2)(α),即F(α)也是域F(α2)上的单扩域．设α在域F(α2)上的最小多项式为q(x),次数为m,则由(1)知必为奇数．又因为α是多项式x2一α2∈F(α2)[x]的根,故q(x)|x2-α2,从而m≤2．但由上知m为奇数,故必m=1．即(F(α)：F(α2))=1,从而F(α)=F(α2)．