A-A+

设K是一个惟一分解整环 0≠f(x)∈K[x] 且 f(x)=d1f1(x)=d2f2(x)

2022-08-12 00:42:45 问答库阅读 193 次

问题详情

设K是一个惟一分解整环，0≠f(x)∈K[x]，且 f(x)=d1f1(x)=d2f2(x)，其中d1，d2∈K，f1(x)与f2(x)是本原多项式．证明：d1与d2相伴，f1(x)与f2(x)也相伴．

请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！

参考答案

正确答案：设f(x)=a₀+a₁x+…+a_nxⁿ．则由于f(x)=d₁f₁(x)=d₂f₂(x) (1)且f₁(x)与f₂(x)都是本原多项式故d₁与d₂都是a₀a₁…a_n的最大公因子因此相伴．设d₁=d₂ε (ε为单位)．代入(1)式由f(x)≠0知d₂≠0再约去d₂即得f₂(x)=εf₁(x)．即f₁(x)与f₂(x)也相伴．
设f(x)=a0+a1x+…+anxn．则由于f(x)=d1f1(x)=d2f2(x),(1)且f1(x)与f2(x)都是本原多项式,故d1与d2都是a0,a1,…,an的最大公因子,因此相伴．设d1=d2ε(ε为单位)．代入(1)式,由f(x)≠0知d2≠0,再约去d2,即得f2(x)=εf1(x)．即f1(x)与f2(x)也相伴．