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如果环R中元素a满足a2=a 则称a为R的幂等元．如果环R中每个元素都是幂等元 则称R为布尔
问题详情
如果环R中元素a满足a2=a，则称a为R的幂等元．如果环R中每个元素都是幂等元，则称R为布尔(G．Boole，18151864)环． 证明：布尔环是交换环，而且其中任何元素a都有 a+a=0．
请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
参考答案
正确答案：设R是布尔环则对R中任意元素ab有a+b=(a+b)2=a2+ab+ba+b2=a+ab+ba+b故 ab+ba=0． (1)在上式中取b=a则由于R中元素都是幂等元故有a2+a2=0 即a+a=0；再由a+a=0得a=-a．从而由(1)式得ab=—ba=ba．即布尔环R为交换环．
设R是布尔环,则对R中任意元素a,b有a+b=(a+b)2=a2+ab+ba+b2=a+ab+ba+b,故ab+ba=0．(1)在上式中取b=a,则由于R中元素都是幂等元,故有a2+a2=0,即a+a=0；再由a+a=0得a=-a．从而由(1)式得ab=—ba=ba．即布尔环R为交换环．
