参考答案

正确答案：1)任取x∈C₁C₂则令x=x₁x₂ 其中x₁∈C₁x₂∈C₂．若群G中元素y与x共轭且设x=aya^-1 其中a∈G．因为C₁C₂都是G的共轭元素类故a^-1x₁a∈C₁ a^-1x₂a∈C₂．于是有y=a^-1xa=a^-1(x₁x₂)a=a^-1x₁a.a^-1x₂a∈C₁C₂．即凡与C₁C₂中元素共轭的元素必属于C₁C₂．因此C₁C₂是G中一些共轭元素类的并集．2)任取X₁y∈C₁^m并令x=x₁^m y=y₁^m 其中x₁y₁∈C₁．由于C₁是G的一个共轭元素类故有b∈G使x₁=by₁b^-1．从而有x₁^m=(by₁b^-1)^m=by₁^mb^-1即x=byb^-1．亦即C₁^m中任二元素必共轭．其次设x∈C₁^mx=x₁^m(x₁∈C₁)且x与y共轭令x=CyC^-1(C∈G)．则因C₁是共轭元素类故y=C^-1xC=C^-1x₁^mC=(C^-1x₁C)^m∈C₁^m即凡与C₁^m中元素共轭的元素都属于C₁^m．因此C₁^m是群G的一个共轭元素类．特别当m=一1时即得C₁^-1是G的一个共轭元素类．
1)任取x∈C1C2,则令x=x1x2,其中x1∈C1,x2∈C2．若群G中元素y与x共轭,且设x=aya-1,其中a∈G．因为C1,C2都是G的共轭元素类,故a-1x1a∈C1,a-1x2a∈C2．于是有y=a-1xa=a-1(x1x2)a=a-1x1a.a-1x2a∈C1C2．即凡与C1C2中元素共轭的元素必属于C1C2．因此,C1C2是G中一些共轭元素类的并集．2)任取X1y∈C1m,并令x=x1m,y=y1m,其中x1,y1∈C1．由于C1是G的一个共轭元素类,故有b∈G使x1=by1b-1．从而有x1m=(by1b-1)m=by1mb-1即x=byb-1．亦即C1m中任二元素必共轭．其次,设x∈C1m,x=x1m(x1∈C1)且x与y共轭,令x=CyC-1(C∈G)．则因C1是共轭元素类,故y=C-1xC=C-1x1mC=(C-1x1C)m∈C1m,即凡与C1m中元素共轭的元素都属于C1m．因此,C1m是群G的一个共轭元素类．特别,当m=一1时即得C1-1是G的一个共轭元素类．