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设R是一个有单位元的环 a与b是R的单位(即可逆元)．证明：若有二互素的整数m和n使 am=

2022-08-12 00:29:05 问答库阅读 193 次

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设R是一个有单位元的环，a与b是R的单位(即可逆元)．证明：若有二互素的整数m和n使 am=bm， an=bn，则必a=b．

请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！

参考答案

正确答案：因为(mn)=1故有整数st使ms+nt=1．于是a=a^ms-nt=a^msa^nt=(a^m)^s(aⁿ)^tb=b^ms+nt=b^msb^nt=(b^m)^s(bⁿ)^t．但是a^m=b^maⁿ=bⁿ故a=b．
因为(m,n)=1,故有整数s,t使ms+nt=1．于是a=ams-nt=amsant=(am)s(an)t,b=bms+nt=bmsbnt=(bm)s(bn)t．但是am=bm,an=bn,故a=b．