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试证:成对合对应的二线束中 一般只有一对对应直线互相垂直 若有两对对应直线垂直 那么所有的对

2022-08-11 23:58:58 问答库 阅读 193 次

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试证:成对合对应的二线束中,一般只有一对对应直线互相垂直,若有两对对应直线垂直,那么所有的对应直线都互相垂直,并且此时对合是椭圆型的.


请帮忙给出正确答案和分析,谢谢!

参考答案

正确答案:设成对合对应的线束的参数方程为:akk′+b(k+k′)+d=0 ad-b2≠0其中kk′为对应直线的斜率.若l⊥l′则有k.k′=-1故对合方程为:bk2-(a-d)k-b=0其根的判别式为:△=(a-d)2+4b2≥0故一定有实根.当△>0时有两相异实根k1k2且k1.k2=-1因此只有一对互相垂直的对应直线.当△=0时有d=12b=0此时对合方程为:kk′=-1故此时对合的每一对对应直线都互相垂直且对合为椭圆型的(ad-b2>0).
本题涉及直线间的垂直,而在笛氏坐标系下,可选取直线的斜率k为参数求出四直线的交比,利用一维射影变换保持四元素交比不变这一性质,可导出重叠射影线束(同心)对应直线的关系式用斜率表示为:akk′+6k+ck′+d=0,(ad-bc≠0).若为对合,则为:akk′+b(k+k′)+d=0,(ad-b2≠0).

考点:直线