参考答案

正确答案：因f(z)在原点解析所以f"(z)在原点也解析于是可设f(z)与f"(z)在｜z｜＜r内解析．故f(2z)=2f(z)f"(z)在｜z｜＜r内也解析．令w₁=2z则f(w₁)在｜w₁｜=2｜z｜＜2r内解析．因而f(2w₁)=2f(w₁)f"(w₁)在｜w₁｜＜2r也解析．令w₂=2w₁则f(w₂)在｜w₂｜=2｜w₁｜＜2．2r=4r内解析．如此类推用归纳法可得f(w_n)在｜w_n｜＜2ⁿr内解析．这里n是任意自然数故f(z)可以延拓到整个复平面上．
因f(z)在原点解析,所以f"(z)在原点也解析,于是可设f(z)与f"(z)在｜z｜＜r内解析．故f(2z)=2f(z)f"(z)在｜z｜＜r内也解析．令w1=2z,则f(w1)在｜w1｜=2｜z｜＜2r内解析．因而f(2w1)=2f(w1)f"(w1)在｜w1｜＜2r也解析．令w2=2w1,则f(w2)在｜w2｜=2｜w1｜＜2．2r=4r内解析．如此类推,用归纳法可得f(wn)在｜wn｜＜2nr内解析．这里n是任意自然数,故f(z)可以延拓到整个复平面上．