参考答案

正确答案：(1)由于输入f(t)=ε(t)方程右端不含冲激函数项则y(t)及其导数在t=0处不发生跃变故y(0_＋)=y(0_-)=1 y’(0₊)=y’(0_-)=1(3)将输入f(t)=δ(t)代入微分方程有y’’(t) ＋4y"(t) ＋3y(t)=δ’’(t)＋δ(t) ①由于方程右端含有δ’’(t)则y”(t)中含有δ’’(t)设y’’(t)=aδ”(t) ＋bδ’(t) ＋cδ(t) ＋r₁(t) ②式中r₁(t)不含δ(t)及其导数项。对式②两边从一∞到t积分得y’(t)=aδ’(t) ＋bδ(t) ＋r₂(t) ③式中r₂(t)=cε(z)+r₁^(-1)(t)而r₁^(-1)川(t)=∫_-∞^∞r₁(τ)d τ故不含δ(t)及其导数项。对式③两边从一∞到t积分得y(t)=aδ(t) ＋r₃(t) ④式中r₃(t)=bε(t) ＋r₂^(-1)(t)更不含δ(t)及其导数项。将式②、③、④代入式①并整理得aδ”(t)＋(b＋4a)δ’(t)＋(C＋4b＋3a)δ(t) ＋r₁(t) ＋4r₂(t) ＋3r₃(t)=δ”(t) ＋δ(t)上式中比较等式两端δ(t)及其导数前的系数有a=1b＋4a=0C＋46＋3a=1解得 a=1b= ﹣4C=14对式②两端从0_-到0_＋积分得y’(0_＋)一y’(0_－)=C=14因此 y’(0_＋)=y’(0_-)＋14=12对式③两端从0_-到0₊积分得y(0₊)一y(0_-)=b= ﹣4因此y(0₊)=y(0_-)一4= ﹣2
(1)由于输入f(t)=ε(t),方程右端不含冲激函数项,则y(t)及其导数在t=0处不发生跃变,故y(0＋)=y(0-)=1,y’(0+)=y’(0-)=1(3)将输入f(t)=δ(t)代入微分方程,有y’’(t)＋4y"(t)＋3y(t)=δ’’(t)＋δ(t)①由于方程右端含有δ’’(t),则y”(t)中含有δ’’(t),设y’’(t)=aδ”(t)＋bδ’(t)＋cδ(t)＋r1(t)②式中r1(t)不含δ(t)及其导数项。对式②两边从一∞到t积分,得y’(t)=aδ’(t)＋bδ(t)＋r2(t)③式中r2(t)=cε(z)+r1(-1)(t),而r1(-1)川(t)=∫-∞∞r1(τ)dτ,故不含δ(t)及其导数项。对式③两边从一∞到t积分,得y(t)=aδ(t)＋r3(t)④式中r3(t)=bε(t)＋r2(-1)(t),更不含δ(t)及其导数项。将式②、③、④代入式①,并整理,得aδ”(t)＋(b＋4a)δ’(t)＋(C＋4b＋3a)δ(t)＋r1(t)＋4r2(t)＋3r3(t)=δ”(t)＋δ(t)上式中,比较等式两端δ(t)及其导数前的系数,有a=1b＋4a=0C＋46＋3a=1解得a=1,b=﹣4,C=14对式②两端从0-到0＋积分,得y’(0＋)一y’(0－)=C=14因此y’(0＋)=y’(0-)＋14=12对式③两端从0-到0+积分,得y(0+)一y(0-)=b=﹣4因此y(0+)=y(0-)一4=﹣2