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某师范学院吴教授，出差到外地参加学术研讨会，晚饭后去一理发馆理发，却被当地派出所以涉嫌嫖娼为由关进了看守所。吴某在看守所大呼冤枉，看守人员认为其认罪态度不好，遂让共同关押的人“修理修理”。吴某被光身毒打后更觉屈辱，于深夜撞墙身亡。吴某的家人提出赔偿要求。下列哪些选项的说法是正确的？()
A．此案应由看守机关赔偿
B．此案应由公安机关赔偿
C．此案应由与吴某共同关押的打人者赔偿
D．此案不应赔偿，因为是吴某自己行为所致此题为多项选择题。请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！