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已知对于n阶方阵A 存在自然数k 使得Ak＝0 试证明矩阵E－A可逆并求出逆矩阵的表达式(

2022-08-06 18:07:38 问答库阅读 180 次

问题详情

已知对于n阶方阵A，存在自然数k，使得Ak＝0，试证明矩阵E－A可逆，并求出逆矩阵的表达式(E为n阶单位矩阵)．请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！

参考答案

正确答案：由代数公式1－a^k＝(1－a)(1＋a＋…＋a^k－1)以及A与E可交换有E－A^k＝(E－A)(E＋A＋…＋A^k－1)而A^k＝0故有(E－A)(E＋A＋…＋A^k－1)＝E可知E－A可逆且有(E－A)^－1＝E＋A＋…＋A^k－1．
由代数公式1－a^k＝(1－a)(1＋a＋…＋a^k－1)以及A与E可交换，有E－A^k＝(E－A)(E＋A＋…＋A^k－1)，而A^k＝0，故有(E－A)(E＋A＋…＋A^k－1)＝E，可知E－A可逆，且有(E－A)^－1＝E＋A＋…＋A^k－1．